Q Function, Gaussian Integral   Q 함수

1. Q 함수 이란?

  ㅇ 표준 정규분포의 pdf(확률밀도함수)를 적분한 함수
     - 표준 정규분포의 pdf : 
[# f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}} #]
     - 이를 적분한 함수 : 
[# Q(x) = \int^{\infty}_x f_X(u) du = \int^{\infty}_x \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{u^2}{2}} du #]

  ㅇ (용도)
     - 표준 정규분포 (평균 0, 분산 1 : 정규분포를 규격화 함) 에서, 
     - 정규화된 확률 적분 값 중 꼬리 부분을 보다 쉽게 구할 수 있는 함수


2. Q 함수의 표현식

    


3. Q 함수의 분포 형태

    

  ㅇ 가우시안 표준 정규분포의 한쪽 꼬리 아래의 면적
  ㅇ 랜덤변수 X가 x 보다 크게나올 확률의 면적


4. Q 함수의 성질

  ㅇ  Q 함수 적분식에 대해 해석적으로 값을 얻을 수 없음                    ☞ Wikipedia 참조
      - 과거에는, 일일이 수작업에 의해 수치적으로 값을 얻어서,
         . 이를 표로써 정리하여 놓고 찾아서 사용함 
      - 요즈음은, 수치해석용 컴퓨터 프로그램으로 쉽게 값을 얻을 수 있음

  ㅇ  오류함수와 다음의 관계 있음
       

  ㅇ  Q(-x) = 1 - Q(x)

  ㅇ  erf(0) = 0  → Q(0) = 1/2

  ㅇ  erf(∞) = 1  → Q(∞) = 0

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