1. 급수 (Series) 이란?
ㅇ [수학]
- 순서화된 수열의 합
- 부분합 수열의 극한
ㅇ [신호처리]
- 주어진 신호를 다른 신호들의 가중 합으로 나타낸 것
2. 급수의 유용성
ㅇ (계산,해석 등에 응용)
- 다양한 수,함수들을, 수많은 항들의 합으로 표현 가능하며, 이를 통해 계산,해석에 활용함
ㅇ (수의 급수 표현)
- 순환 소수, π, e 의 표현 등에 이용됨
[# 2.3171717 \cdots = 2.3 + \frac{17}{10^3} + \frac{17}{10^5} + \frac{17}{10^7} + \cdots
= \frac{1147}{495} \\
\pi = 3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \frac{5}{10^4} + \cdots #]
ㅇ (함수의 급수 표현)
- 함수를 급수 형태로 표현
. 例) [# \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots
= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} #]
- 함수의 급수 형태에서 각 항 계수들을 그 도함수와 관련시켜 근사 표현 ☞ 테일러 급수 참조
- 보다 복잡한 함수(초월함수 등)를 간단한 함수(초등함수)의 급수로 표현 가능 (즉, 근사화)
ㅇ (미분방정식 풀이) ☞ 급수 해법 참조
- 해가 멱급수 형태로 얻어짐
ㅇ (기타)
- 적분의 계산, 푸리에급수에서의 이용, 여러 특수함수(르장드르 함수,베셀 함수 등)의 분석 등
3. 급수의 표기 기호
ㅇ 시그마 (Sigma) : `합 (合)`을 의미
- 그리스 문자 중 18번째 대(소) 문자 : {# \Sigma \; (\sigma) #}
[# a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = \sum^{n}_{k=1} a_k #]
. 또는, [# \sum_{1 \leq k \leq n} a_k #]
, [# \sum_{p(k)} a_k #]
(단, p(k)는 k에 대한 성질)
ㅇ 한편, 델타 (Delta)는, `차 (差)`를 의미
- 그리스 문자 중 4번째 대(소) 문자 : {# \Delta \; (\delta) #}
4. 급수의 성질
ㅇ 선형성
- 결합법칙 : [# \sum^{n}_{k=1} (a_k \pm b_k) = \sum^{n}_{k=1} a_k \pm \sum^{n}_{k=1} b_k #]
- 분배법칙(스칼라곱셈) : [# \sum^{n}_{k=1} c a_k = c \sum^{n}_{k=1} a_k #]
(c : 상수)
ㅇ 상수의 급수 : [# \sum^{n}_{k=1} 1 = n \; , \quad \sum^{n}_{k=1} c = c n #]
ㅇ 기타 성질
[#
\sum^{n}_{k=1} a_kb_k \ne \sum^{n}_{k=1} a_k \sum^{n}_{k=1} b_k \\
\sum^{n}_{k=1} \frac{a_k}{b_k} \ne \frac{\sum^{n}_{k=1} a_k}{\sum^{n}_{k=1} b_k}
#]
5. [참고사항]
ㅇ 급수의 구분 ☞ 급수 종류 참조
- 등차 급수, 등비 급수, 기하 급수, 조화 급수, 교대 급수 등
ㅇ 급수의 공식 ☞ 급수 공식 참조
- 등차 급수 공식, 지수 수열 {nk}에서의 합의 공식, 등비 급수 공식 등
ㅇ 변수가 포함된 급수 ☞ 멱급수 참조
- 각 항들이 변수 x의 거듭제곱 형태로 된 무한급수