1. 거듭제곱법, 멱법 (Power Method)
ㅇ 행렬의 고유값,고유벡터를 계산하는 수치기법 중 하나
- 정방행렬의 거듭제곱을 구함으로써,
- 절대값이 최대인 고유값과 그 고유벡터를 구하는 방법
* 많은 경우에, 절대값이 가장 큰 `우세 고유값` 만이 관심의 대상이 됨
ㅇ 작동 조건
- 행렬 A가 가장 큰 절댓값인 단일한 고유값((dominant eigenvalue, λ1)을 가질 때 특히 유용함
- 고유값들이 서로 다르고, |λ1| > |λ2| ≥ |λ3| ≥ . . . ≥ |λn|를 만족해야 함
ㅇ 작동 방법 : 반복법(Iterative Method)의 일종 (반복 과정 알고리즘)
- 초기 벡터 x(0) 선택
. 임의의 초기 벡터 x(0)을 설정 (단, 영 벡터는 제외)
- 행렬 벡터 곱 반복 수행
. x(k+1) = A x(k)
. 이때, 벡터 x(k+1)를 정규화하여 크기가 발산하지 않도록 조정
- 수렴 판별
. x(k)의 변화량이 충분히 작거나 변화 않을 때까지 반복
. 이때, 고유값은 다음과 같이 근사할 수 있음
[# λ^{(k)} = \frac{x^{(k+1)} \cdot x^{(k)}}{x^{(k)} \cdot x^{(k)}} #]
- 반복 종료 후 결과 출력
. 수렴하면, 우세한 고유값 λ1 및 대응하는 고유벡터 x1를 근사적으로 구할 수 있음
ㅇ 특징
- 장점
. 계산량이 적고 구현이 간단
. 반복을 통해 고유값을 빠르게 근사
. 대형 행렬(희소 행렬 포함)에 대해 유용하게 사용 가능
- 단점
. 가장 큰 절댓값을 가지는 고유값만 찾을 수 있음
. 여러 개의 절댓값이 동일한 고유값이 존재하면 수렴하지 않음
. 수렴 속도가 느릴 수 있음