1. 이항 연산 (Binary Operation)
ㅇ 두 항 간에 이루어지는 연산
- 입력 2개가 출력 1개를 산출
. 한 개의 수를 얻기 위해 두 수를 결합하는 것
2. 이항 연산의 표기법 종류
ㅇ 중위 표기법 (中位,infix notation) : 例) A ＋ B × C ＋ D
- 활용 例) 탁상용 전자계산기 등
- 단, 곱셈,나눗셈은 덧셈,뺄셈 보다 우선순위를 두어 먼저 계산하는 경험적 규칙이 있으므로,
소괄호()를 써서 연산의 우선순위를 강조하여 나타내곤 함
. 즉, (A ＋ B) × (C ＋ D)
ㅇ 전위 표기법 (前位,prefix notation) : 例) × ＋ A B ＋ C D
- 활용 例) LISP 등
ㅇ 후위 표기법 (後位,postfix notation) : 例) A B ＋ C D ＋ ×
- 활용 例) 포스트스크립트 등
3. 이항 연산의 성질
ㅇ 닫힘 성질 (Closure Property)
- 만일 a,b가 S 원소이면, a * b의 결과도 다시 S의 원소가 되는 성질
. a,b ∈ S 이고, a * b ∈ S 인 성질
- 즉, 각 입력이 어떤 집합에서 선택되면, 그 결과값도 다시 그 집합 내에 속하게 됨
- 결국, 이항연산은, 항상 어떤 `집합` 상에서 만 이루어진다는 전제 조건이 주어짐
. 즉, 집합 S 위의 두 원소 a,b를 뽑아 이항 연산하면,
그 결과가 다시 S의 원소를 반환하는 함수
ㅇ 이항 연산의 例)
- 정수에서 사칙연산
. 두 항 간에 이루어지는 뺄셈,덧셈,곱셈은,
.. 입력과 출력이 모두 정수 집합에 있게 되는, 대표적인 이항 연산이나,
. 나눗셈은,
.. 2개의 결과값(몫,나머지)을 산출하고 또한 결과값이 정수가 아닌 분수가 될 수 있으므로,
.. 정수에서 사칙연산은 이항 연산이 아님
ㅇ 교환법칙, 결합법칙 같은 성질들을 가질 수도 있음
- 교환법칙 (Commutativity) : a ∗ b = b ∗ a
- 결합법칙 (Associativity) : (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
4. 이항 연산의 의의
ㅇ 이항 연산은, 집합 위에 대수(연산)을 정의하고, 그 대수적 구조/성질을 찾으려는 기초 개념임
- 비록, 동일 집합 원소에서도 연산이 다르면, 다른 대수적 구조를 가질 수 있으나,
- 만일, 다른 집합 원소에 다른 연산을 가해도, 같은 대수적 구조를 가질 수 있음
ㅇ 이항 구조 (이항 대수적 구조)
- 이항 연산이 정의된 집합을 말함
- 집합 S에 이항 연산 *가 정의된 이항 구조를 < S, * > 이라고 표기함
5. 이항 연산의 기호적 표현
ㅇ (함수 기호적 표현)
- ` * : S x S → S ` 또는 ` * : S2 → S `
. 집합 S 위에서의 이항연산 * 는, S x S 에서 S 로 가는 함수 임
.. 여기서, S x S 는 집합 S 의 순서쌍의 모음 (카테시안 곱)
- [참고]
. 단항 연산 (Unary Operation) 이면, * : S → S
.. 입력 1개에 작용하여 출력 1개를 산출하게 됨
.. 例) 절대값 |n|, 여집합 AC 등
. 이항 연산 (Binary Operation) 이면, * : S2 → S
.. 입력 2개에 작용하여 출력 1개를 산출하게 됨
. n항 연산 (n-ary Operation) 이면, * : Sn → S
.. 입력 n개에 작용하여 출력 1개를 산출하게 됨
ㅇ (개별 기호적 표현)
- a,b ∈ S 에 대응되는 S 의 원소를 나타내는 함수 ((a*b)) 를, 간략히 a * b 로 표기 함