1. 수치 해석 (Numerical Analysis, Numerical Method, Computational Method)
ㅇ 합리적인 수준의 오차를 갖는 근사값(수치적 해)을 구하려는 알고리즘/단계/과정
- 정확한 해(解) 또는 최소,최대에 근접하는 수치적 근사값(결과)을 구하려는 체계적인 기법
ㅇ (오차에 대한 접근 방식)
- 대부분의 공학 문제에서, 해석 해를 구할 수 없고, 그에따라 정확한 오차도 모름
- 따라서, 오차에 대해서도, 근사값(근사오차)/추정값/예측값으로 문제를 다뤄야 함
※ [참고] 수치적 ↔ 해석적
2. 수치 해석의 학문적 성격
ㅇ 수학적 모델링 및 시뮬레이션을 통해, 반복 실험의 대체 수행에 필수적인 학문 분야
ㅇ 목표
- 수치적 해를 구하는 알고리즘의 개발,분석,연구,발전
- 해의 존재성을 구체적으로 구성,증명하는 방법을 제시
- 수치적 해를 구하는 알고리즘의 수렴 속도,안정성 확보 등
3. 수치해석의 제한(고려) 요소
ㅇ 수치의 정도가 유한 함
- 이에따라, 오차(절단 오차,반올림 오차)의 최소화 필요
- 따라서, 수치적으로 구해지는 해의 본질 및 그 전달에 대해 살펴보아야 함
* [참고] 근사적인 수치 적용의 부정확성 구분
. 모델링 오차 : 잘못된 수학적 모델링을 적용함으로 인해 발생하는 오차
. 절단오차 : 수학적 모델의 불완전성에 따른 오차
. 반올림오차 : 컴퓨터 근사에 의한 수치해법 상의 오차
ㅇ 계산량,메모리량을 줄여야 함
- 이에따라, 계산 복잡도의 최소화 필요
4. 수치 해석의 주요 문제들
※ 대부분, 근사적인 해를 구하는 문제 임
- 방법 차이로는, 주로 근사 해를 구하는데 필요한 방정식을 유도하는 방식이 각기 다름
ㅇ 방정식의 근 구하기 (Method for Root of Equation) ☞ 근 구하기 참조
- 방정식 f(x) = 0 을 만족하는 x의 수치 값을 찾는 것
. 例) 구간법(증분법, 이분법, 가위치법), 개방법(고정점 반복법, 뉴턴법/뉴턴-랩슨법, 할선법)
.. 이분법 : 구간을 절반으로 줄여가며 근을 찾는 방법
.. 뉴턴-랩슨법 : 초기값에서 반복적으로 미분을 이용하여 근 접근
.. 고정점 반복법 : 방정식을 x = g(x) 형태로 변환 후 반복
ㅇ 곡선 적합 (Curve Fitting)
- 데이터에 적합한 곡선(추정 곡선/함수)을 맞추는 과정
. 例) 보간법 (라그랑주 보간법, 뉴턴 보간법, 스플라인 보간법) 등
ㅇ 선형대수학 : 선형 연립방정식 해법 (행렬 응용)
- 행렬 방정식 A x = b 에서, 해를 구하는 방법
. 직접법 : 크래머법, 가우스소거법, LU 분해법 등
. 반복법 : Jacobi법, Gauss-Seidel법, SOR법 등
- 행렬 고유값 문제 A x = λ x 에서, 행렬 A의 고유값과 고유벡터를 찾는 방법
. 거듭제곱법 (Power Method) : 가장 큰 고유값을 찾는 방법
. QR 알고리즘 (QR Algorithm) : 모든 고유값을 찾는 방법
. Jacobi 방법 (Jacobi Method) : 대칭 행렬의 고유값 계산을 위한 방법
ㅇ 미분 => 차분법 (전진 차분, 후진 차분, 중앙 차분)
- 해석적이 아닌, 수치적으로(근사적으로) 미분을 구하는 것
. 例) 오일러법, 룬게쿠타법 등
ㅇ 적분 => 수치 적분(구분구적법) 등
- 정적분을 수치적으로 근사하는(구하는) 문제
. 例) 사다리꼴 법칙, 심프슨 법칙 등
ㅇ 미분방정식 및 적분방정식
- 복잡한 미분방정식을 연립 대수 방정식으로 변환하여 풀이
. 상 미분방정식 : 오일러법(접선근사법) 등
* 복잡한 미분방정식/적분방정식들에 대해서는,
. 이에 상응하는 연립대수방정식으로 바꾸어 수치적으로 풀이
- 유한 차분법 (Finite Difference Method)
. 시간 관점의 이산적 수치해법
- 유한 요소법 (Finite Element Method)
. 공간 관점의 이산적 수치해법
- 유한 체적법 (Finite Volume Method)
. 원래 미분 방정식을 각 격자마다 공간 적분해서 변형하여 풀이
.. 구하는 양의 시간적 변화를 격자의 경계선을 통과하는 유속으로 표현
ㅇ 최적화 문제 (Optimal Problem)
- 주어진 조건에서 최적의 값을 구하는 문제
5. (엄밀 해 ↔ 근사 해/수치 해)
ㅇ 엄밀 해/정확한 해 (Exact Solution) 또는 해석적 해 (Analytic Solution)
- 일반 공식으로 표현 가능한 구체적인 함수를 제시할 수 있는 해석적 해
ㅇ 수치 해 (Numerical Solution), 근사 해 (Approximate Solution)
- 방정식 해를 구할 때, 구체적인 함수를 제시하는 해석적 해를 구하는 대신에,
- 수치적인 방법 만으로 구해질 수 있는 근사값(해)