1. [정수론] 잉여류 (Set of Residues, Residue Class, 剩餘類) Mr
ㅇ 각각의 모든 정수를 양의 정수 m 로 나누었을 때,
- 나머지가 r 이 되는 수들의 모음
- 즉, 나머지가 같게 되는 정수들의 집합
ㅇ (표기)
- M0, M1, M2, ..., Mn-1
- 또는, {#\bar{0}#}, {#\bar{1}#}, {#\bar{2}#}, ..., {#\overline{n-1}#}
- 또는, Ma, {#\bar{a}#}, [a]
ㅇ (例)
- 각각의 모든 정수를 3으로 나누었을 때,
. M0 = {0,3,6,9,...} = { 3m | m∈Z } = {나머지가 0 인 수} = {#\bar{0}#} = [0]
. M1 = {1,4,7,10,...} = { 3m+1 | m∈Z } = {나머지가 1 인 수} = {#\bar{1}#} = [1]
. M2 = {2,5,8,11,...} = { 3m+2 | m∈Z } = {나머지가 2 인 수} = {#\bar{2}#} = [2]
- 위 예에서, 각 집합을 잉여류 (Residue Class) 라고 함
ㅇ (특징)
- 이들 각 집합은, 모든 정수의 집합을 분할 하게 됨
- 특히, 수 집합 전체가 무한집합에서 유한집합 {#\bar{Z}_3#} = { {#\bar{0},\bar{1},\bar{2}#} } = { M0,M1,M2 }이 되게 함
- 즉, 분할하여 얻어진 작은 부분집합들이 잉여류 임
ㅇ (명칭/호칭)
- `법 n에 관한 잉여류 (Residue Classes Modulo m)`
- 또는, `n을 법으로하는 합동에 대한 동치류` 라고도 함
ㅇ (성질) 잉여류 간의 대수적 성질
- [a] ⊕ [b] = [a ⊕ b] (addition)
- [a] ⊙ [b] = [a ⊙ b] (multiplication)
2. [정수론] 잉여계 (Factor System, 剩餘系) Rm
ㅇ 각 잉여류에서 임의의 정수를 하나씩 취해 만든 집합 (잉여류의 집합)
- 例) R3 = {0,1,2} 또는 {3,1,5} 등
- 이를 `법 m에 관한 완전잉여계 (Complete System of Residues Modulo m)` 라고도 함
ㅇ (표기, 호칭)
- 정수의 집합 {#\mathbb{Z}#}에서, 법 n에 대한 잉여계(잉여류의 집합) 표기는,
. {# \mathbb{Z}_n = \{ \; \bar{0}, \; \bar{1}, \; \cdots, \; \overline{n-1} \; \} #}
. 때론 간략히, Zn = {0,1,2,...,n-1} 으로 나타내기도 함
. 또는, Z/nZ 등으로도 표기함
- 정수의 집합 {#\mathbb{Z}#}에서, 법 n에 대한 잉여계(잉여류의 집합) 호칭은,
. `n을 법으로 하는, 모든 잉여류들 (작은 부분집합들)의 집합` 이라고 말함
. (Set of Residue Classes Modulo n)
. 또는, 최소 잉여 집합 , (set of least residues modulo n) 이라고도 함
3. [추상대수학] 잉여류 (Residue Class)의 일반화 => 코셋 (Coset)
※ 영어로 Coset는 아래의 준말
- `a set of members having a common feature (공통된 특징을 갖는 멤버들의 집합)`
ㅇ 의의
- 코셋은, 위 1.항의 정수에서의 잉여류를,
- 군론에서 보다 일반화시킨 용어 로써,
- 대단히 융통성 있는 개념적(추상적) 도구로 쓰임
ㅇ 例) 법 n에 대한 a의 잉여류 (a의 코셋)
- {#\bar{a}#} = { b ∈ Z : b ≡ a (mod n) }
- 법 n으로 a와 합동인 모든 정수들의 집합
- 또는, {#\bar{a}#} = { a + n k : k ∈ Z }
ㅇ 성질
- 전체 모임을 코셋에 의해 분할이 가능함
- 이때, 가능한 부분군 마다 코셋은, 모두 동일한 개수의 원소를 갖음
※ [응용] ☞ 통신에서의, 표준 배열(Standard Array) 참조
- 여기서, 코셋은, 표준 배열 상의 각 행을 말함
- 이때, 각 행은, 공통 특징(즉,동일 오류 패턴)을 갖는 요소들로 이루어짐