Affine Geometry, Affine Space   아핀 기하학, 아핀 공간

1. 아핀 기하학 (Affine Geometry)

  ㅇ 유클리드 공준 1,2,4에 만 의존하는 기하학

  ㅇ 기하학 보다는 선형대수학에서 주로 다루어짐

  ㅇ 특징
     - 임의의 점을 지나는 부분공간, 즉 평면을 그 대상으로 함
     - 평행 이동 허용
     - 결합적 성질에 의존하고 직교성이나 거리에는 의존하지 않음


2. 아핀 공간 (Affine Space)

  ㅇ 점과 벡터를 같은 군(群)으로 해석하여, 벡터공간을 확장한 공간
     - 점과 벡터가 함께 관계를 맺는 공간 
        .  v = Q - P : 모든 점 쌍(P,Q)에 대해 이 식을 만족하는 유일한 v가 존재함
        .  또는, Q = P + v : 이 식을 만족하는 유일한 점 Q가 존재함
     - 원점이 어딘지 모르는 벡터 공간
        . 벡터 부분공간이 평행이동한 공간(평면)을 대상으로 함

  ㅇ 점과 벡터 간의 관계
     - 점 간의 이동을 벡터에 덧셈을 수행한다고 볼 수 있음
        . 즉, 한 점에 벡터를 더하면 새로운 점으로 이동시킴
     - 두 점 간의 변위는 한 점에 다른 점을 빼주면 됨

  ㅇ 벡터공간,아핀공간 간의 차이점
     - 벡터공간
        . 위치를 특정할 수 있는 점(點) 개념이 없음
        . 점(위치)에 대한 개념을 갖지 않으므로, 두 벡터가 크기와 방향 만 같으면 벡터 상동(같음)
     - 아핀공간
        . 점,벡터,그들간의 연산까지도 포함


3. 아핀 변환 (Affine Transformation)

   

  ㅇ 행렬 A에 의해 행렬변환한 후에 평행이동한 것과 동일
     - 변환 전후에, 
        . 직선은 직선으로, 다각형은 다각형으로, 곡면은 곡면으로, 평행 선분은 평행으로 유지됨

  ㅇ 모든 아핀변환은, 5가지 합성 변환으로 표현 가능
     - 이동 변환, 회전 변환, 크기 변환, 반사 변환, 층밀림 변환    ☞ 기하 변환, 기하 변환 예 참조

  ㅇ 영상 처리에서 널리 사용되는 기하학적 변환 임
     - 영상의 평행 이동, 회전, 확대 및 축소 등의 조합으로, 
     - 영상의 기하학적 변환이 가능

  ㅇ (표현 例)
     
[# \begin{pmatrix} x' = ax+by+c \\ y' = dx+ey+f \end{pmatrix} \rightarrow 
        \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 
           \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix} 
           \begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} #]
     - 좌표 축 : x', y', x, y
     - 곱해지는 상수 : a, b, d, e
     - 더해지는 상수 : c, f
     - 크기 변환 : 곱해지는 상수(a, b, d, e) 만 있는 경우 
     - 이동 변환 : 더해지는 상수(c, f) 만 있는 경우
     - 회전 변환 : 각각의 축에 상수곱을 하고 합하는 경우 (a 와 b, d 와 e)
     - 어파인 변환 행렬 : a ~ f 로 이루어진 변환을 결정하는 행렬


4. 아핀 함수 (Affine Function)

  ㅇ  f(x) = a x + b
     - 일직선임(선형성의 특징 중 하나)에도 불구하고도 절편이 있어 비선형


5. 아핀 결합 (Affine Combinations)

  ㅇ 특별한 형태의 일차결합
     - 일차결합 c1a1 + c1a2 + ... + cmam 에서,
     - 가중치 c1 + ... + cm = 1 을 만족하는 일차결합

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